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楼主 |
发表于 2019-2-13 23:05
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前面说明了重构经过44.1kHz采样的20kHz正弦波没问题。因为其谐波都在40kHz以上,这些谐波被截止频率为1/2采样频率的低通滤波器滤除了。那么一个很自然的问题是,如果信号频率很低,其谐波会不会落在22.05kHz的低通截止频率以内,因而不能滤除,形成数码音。答案是不会,这个可用正弦阶梯波的频谱来说明。
一个N阶正弦阶梯波含基波和n(=mN±1, m=1,2,3.....,N为每周期的采样点数)次谐波,各次谐波分量的振幅与其阶次成反比。假定正弦阶梯波的振幅为1,则各次谐波分量的振幅为:
比如说一个N=16级正弦阶梯波,其含有的谐波分量为第15次和第17次,第31次和第33次、第47次和第49次…..。而最高的第15次谐波的幅度只有基波幅度的1/15 (即:-23.52dB)。
如果采样频率为fs,信号频率为f,则每周期的采样点数N=fs/f,则正弦阶梯波的最低谐波次数为:n=N-1=fs/f-1,最低谐波频率为:(fs/f-1)×f=fs-f。由于采样定理规定了f<0.5fs,因此最低谐波频率始终大于0.5fs。所以无论信号频率是多少,都被重构低通滤波器滤掉,没有谐波落在音频范围内。
以44.1kHz采样频率为例:
一个11.025kHz的正弦阶梯波(N=44100/11025=4)的第一个振幅不为零的谐波频率为第3次谐波(33.075kHz);
一个5.5125kHz(N=44100/5512.5=8)的正弦阶梯波的第一个振幅不为零的谐波频率为第7次谐波(38.5875kHz);
一个2.75625kHz(N=44100/2756.25=16)的正弦阶梯波的第一个振幅不为零的谐波频率为第15次谐波(41.34375kHz),如下图所示。
可见信号频率越小,阶梯数就越多,最低谐波的阶次越高,最终保证会高于1/2采样频率而不会落在音频范围内,从而被低通滤掉。所以“阶梯”是听不见的。
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